Algebravorstufe Beispiele

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \div \frac{48 x^{2} + 12 x + 3}{6 x^{3} + 162}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $64 x^{3}$ als ${(4 x)}^{3}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1^{3}}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 x$ und $b = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 2.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 6 x + 18$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x^{3} + 162$ und $48 x^{2} + 12 x + 3$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3$ aus $162$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 54}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x^{3}) + 3 (54)$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Schritt 4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 12 x + 3}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (16 x^{2}) + 3 (4 x)$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Schritt 4.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Schritt 4.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 x^{2} + 4 x + 1$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $16 x^{2} + 4 x + 1$ aus $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)$ heraus.

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} (2 x^{3} + 54)$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$ mit $2 x^{3} + 54$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x^{3} + 54$ und $2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)$ heraus.

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 27)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 3^{3})}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))}{x^{2} - 3 x + 9}$

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 3 x + 9$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 9.2

Dividiere $(4 x - 1) (x + 3)$ durch $1$ .

$(4 x - 1) (x + 3)$

Schritt 10

Multipliziere $(4 x - 1) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x + 3) - 1 (x + 3)$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 (x + 3)$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Schritt 11.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 12 x - 1 x - 1 \cdot 3$

Schritt 11.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 x^{2} + 12 x - x - 1 \cdot 3$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 x^{2} + 12 x - x - 3$

Schritt 11.2

Subtrahiere $x$ von $12 x$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3$