Algebravorstufe Beispiele

$\frac{6 x^{5} + 5 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x}{3 x + 1}$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$2 x^{4}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{5} + 2 x^{4}$

$2 x^{4}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

Schritt 6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{4} + x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Schritt 11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} - x$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

Schritt 16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

$0$

Schritt 17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$\frac{2}{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

$0$

Schritt 18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$\frac{2}{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

$0$

$2 x$

$\frac{2}{3}$

Schritt 19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + \frac{2}{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$\frac{2}{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

$0$

$2 x$

$\frac{2}{3}$

Schritt 20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$\frac{2}{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$0$

$6 x^{5}$

$2 x^{4}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$x$

$2 x$

$0$

$2 x$

$\frac{2}{3}$

Schritt 21

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 x^{4} + x^{3} - x + \frac{2}{3} - \frac{2}{3 (3 x + 1)}$