Algebravorstufe Beispiele

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \div \frac{7 x + 21 y}{x + y}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 2

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 36 x y + 54$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) + 36 x y + 54}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6$ aus $36 x y$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 54}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $6$ aus $54$ heraus.

$\frac{6 x^{2} + 6 (6 x y) + 6 \cdot 9}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (6 x y)$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y) + 6 \cdot 9}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + 6 x y) + 6 \cdot 9$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + 4 y^{2} + 5 x y} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.2

Stelle $4 y^{2}$ und $5 x y$ um.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + 5 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x y$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + 5 (x y) + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + (1 + 4) (x y) + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + 1 (x y) + 4 (x y) + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + x y + 4 (x y) + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x^{2} + x y + 4 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x^{2} + x y) + 4 x y + 4 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x (x + y) + 4 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + y$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + y) (x + 4 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + y) (x + 4 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 y}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x + 4 y} \cdot \frac{1}{7 x + 21 y}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{x + 4 y}$ mit $\frac{1}{7 x + 21 y}$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + 4 y) (7 x + 21 y)}$

Schritt 6

Faktorisiere $7$ aus $7 x + 21 y$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + 4 y) (7 (x) + 21 y)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $7$ aus $21 y$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + 4 y) (7 (x) + 7 (3 y))}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (3 y)$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + 4 y) (7 (x + 3 y))}$

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{(x + 4 y) \cdot 7 (x + 3 y)}$

Schritt 7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x + 4 y$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9)}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} + 6 (6 x y) + 6 \cdot 9}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{6 x^{2} + 36 (x y) + 6 \cdot 9}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{6 x^{2} + 36 (x y) + 54}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2} + 36 x y}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)} + \frac{54}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$

Schritt 11

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} + 36 x y}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2}}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)} + \frac{36 x y}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)} + \frac{54}{7 (x + 4 y) (x + 3 y)}$