Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{8 x + 24 y}{x + y}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $18 x y$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $27 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (6 x y)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.2

Stelle $5 y^{2}$ und $6 x y$ um.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x y$ heraus.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $6$ um als $1$ plus $5$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{8 x + 24 y}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ mit $\frac{1}{8 x + 24 y}$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 x + 24 y)}$

Schritt 6

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 24 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 24 y)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $8$ aus $24 y$ heraus.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 8 (3 y))}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (x) + 8 (3 y)$ heraus.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x + 3 y))}$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 3 y)}^{2}$ und $x + 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $x + 3 y$ aus $3 {(x + 3 y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x + 3 y$ aus $(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)$ heraus.

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 3 y)}{(x + 5 y) \cdot 8}$

Schritt 8

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x + 5 y$ .

$\frac{3 (x + 3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 (3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$

Schritt 11

Zerlege den Bruch $\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x}{8 (x + 5 y)} + \frac{9 y}{8 (x + 5 y)}$