Algebravorstufe Beispiele

$\frac{20 k^{4} + 14 k^{3} + 7 k - 5}{2 k^{2} + 1}$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 k^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 k^{2}$ .

$10 k^{2}$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 k^{2}$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 k^{4} + 0 + 10 k^{2}$

$10 k^{2}$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 k^{2}$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

Schritt 6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 k^{2}$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $14 k^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 k^{2}$ .

$10 k^{2}$

$7 k$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 k^{2}$

$7 k$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

$14 k^{3}$

$0$

$7 k$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $14 k^{3} + 0 + 7 k$

$10 k^{2}$

$7 k$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

$14 k^{3}$

$0$

$7 k$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 k^{2}$

$7 k$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

$14 k^{3}$

$0$

$7 k$

$10 k^{2}$

$0$

Schritt 11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 k^{2}$

$7 k$

$2 k^{2}$

$0 k$

$1$

$20 k^{4}$

$14 k^{3}$

$0 k^{2}$

$7 k$

$5$

$20 k^{4}$

$0$

$10 k^{2}$

$14 k^{3}$

$10 k^{2}$

$7 k$

$14 k^{3}$

$0$

$7 k$

$10 k^{2}$

$0$

$5$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 k^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 k^{2}$ .

						$10 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
$2 k^{2}$	+	$0 k$	+	$1$		$20 k^{4}$	+	$14 k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
					-	$20 k^{4}$	-	$0$	-	$10 k^{2}$
							+	$14 k^{3}$	-	$10 k^{2}$	+	$7 k$
							-	$14 k^{3}$	-	$0$	-	$7 k$
									-	$10 k^{2}$	+	$0$	-	$5$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$10 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
$2 k^{2}$	+	$0 k$	+	$1$		$20 k^{4}$	+	$14 k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
					-	$20 k^{4}$	-	$0$	-	$10 k^{2}$
							+	$14 k^{3}$	-	$10 k^{2}$	+	$7 k$
							-	$14 k^{3}$	-	$0$	-	$7 k$
									-	$10 k^{2}$	+	$0$	-	$5$
									-	$10 k^{2}$	+	$0$	-	$5$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 k^{2} + 0 - 5$

						$10 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
$2 k^{2}$	+	$0 k$	+	$1$		$20 k^{4}$	+	$14 k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
					-	$20 k^{4}$	-	$0$	-	$10 k^{2}$
							+	$14 k^{3}$	-	$10 k^{2}$	+	$7 k$
							-	$14 k^{3}$	-	$0$	-	$7 k$
									-	$10 k^{2}$	+	$0$	-	$5$
									+	$10 k^{2}$	-	$0$	+	$5$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$10 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
$2 k^{2}$	+	$0 k$	+	$1$		$20 k^{4}$	+	$14 k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$7 k$	-	$5$
					-	$20 k^{4}$	-	$0$	-	$10 k^{2}$
							+	$14 k^{3}$	-	$10 k^{2}$	+	$7 k$
							-	$14 k^{3}$	-	$0$	-	$7 k$
									-	$10 k^{2}$	+	$0$	-	$5$
									+	$10 k^{2}$	-	$0$	+	$5$
														$0$

Schritt 16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$10 k^{2} + 7 k - 5$