Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{(6 + 2 \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}$

Schritt 3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{36 - 12 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{16}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 2 \sqrt{5}$ und $16$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{16}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 (8)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{8}$

Schritt 6

Multipliziere $(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Schritt 7.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 7.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{8}$

Schritt 7.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{8}$

Schritt 7.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 7.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{8}$

Schritt 7.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{8}$

Schritt 7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{8}$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{8}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 7.3

Addiere $- 2 \sqrt{5}$ und $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ in zwei Brüche.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Dezimalform:

$0.40450849 \dots$