Algebravorstufe Beispiele

$\frac{12 m n + 32 n^{2} - 54 m^{2}}{8 n - 9 m}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 m n + 32 n^{2} - 54 m^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 m n$ heraus.

$\frac{2 (6 m n) + 32 n^{2} - 54 m^{2}}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32 n^{2}$ heraus.

$\frac{2 (6 m n) + 2 (16 n^{2}) - 54 m^{2}}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 54 m^{2}$ heraus.

$\frac{2 (6 m n) + 2 (16 n^{2}) + 2 (- 27 m^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 m n) + 2 (16 n^{2})$ heraus.

$\frac{2 (6 m n + 16 n^{2}) + 2 (- 27 m^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 m n + 16 n^{2}) + 2 (- 27 m^{2})$ heraus.

$\frac{2 (6 m n + 16 n^{2} - 27 m^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 27 \cdot 16 = - 432$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 27 m^{2} + 16 n^{2} + 6 m n)}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $16 n^{2}$ und $6 m n$ um.

$\frac{2 (- 27 m^{2} + 6 m n + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 m n$ heraus.

$\frac{2 (- 27 m^{2} + 6 (m n) + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe $6$ um als $- 18$ plus $24$

$\frac{2 (- 27 m^{2} + (- 18 + 24) (m n) + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 27 m^{2} - 18 (m n) + 24 (m n) + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{2 (- 27 m^{2} - 18 m n + 24 m n + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- 27 m^{2} - 18 m n) + 24 m n + 16 n^{2})}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (9 m (- 3 m - 2 n) - 8 n (- 3 m - 2 n))}{8 n - 9 m}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 m - 2 n$ .

$\frac{2 ((- 3 m - 2 n) (9 m - 8 n))}{8 n - 9 m}$

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (9 m - 8 n)}{8 n - 9 m}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 m - 8 n$ und $8 n - 9 m$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $9 m$ heraus.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- (- 9 m) - 8 n)}{8 n - 9 m}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 n$ heraus.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- (- 9 m) - (8 n))}{8 n - 9 m}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 9 m) - (8 n)$ heraus.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- (- 9 m + 8 n))}{8 n - 9 m}$

Schritt 2.4

Schreibe $- (- 9 m + 8 n)$ als $- 1 (- 9 m + 8 n)$ um.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- 1 (- 9 m + 8 n))}{8 n - 9 m}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- 1 (- 9 m + 8 n))}{- 9 m + 8 n}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 m - 2 n) (- 1 (- 9 m + 8 n))}{- 9 m + 8 n}$

Schritt 2.7

Dividiere $2 (- 3 m - 2 n) \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$2 (- 3 m - 2 n) \cdot (- 1)$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (- 3 m) + 2 (- 2 n)) \cdot - 1$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$(- 6 m + 2 (- 2 n)) \cdot - 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(- 6 m - 4 n) \cdot - 1$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 m \cdot - 1 - 4 n \cdot - 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 m - 4 n \cdot - 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$6 m + 4 n$