Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1 + a z^{- 1} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + a \frac{1}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{z}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c \frac{1}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $c$ und $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{z}{z} + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{z + a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.7

Um $\frac{z + a}{z}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{z + a}{z} \cdot \frac{z}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $z^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $\frac{z + a}{z}$ mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z \cdot z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z^{2}} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(z + a) z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{z \cdot z + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $z^{- 2}$ aus $(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $z^{- 2}$ aus $(d - a b) z^{- 1}$ heraus.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) - c b z^{- 2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $z^{- 2}$ aus $- c b z^{- 2}$ heraus.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $z^{- 2}$ aus $z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)$ heraus.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z - c b)}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} (d z - a b z - c b)}$

Schritt 2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Schritt 4

Faktorisiere $\frac{1}{z^{2}}$ aus $\frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$ heraus.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2}$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$(z^{2} + a z + c) \frac{1}{d z - a b z - c b}$

Schritt 6

Mutltipliziere $z^{2} + a z + c$ mit $\frac{1}{d z - a b z - c b}$ .

$\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$ in zwei Brüche.

$\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b}$ in zwei Brüche.

$\frac{z^{2}}{d z - a b z - c b} + \frac{a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$