Algebravorstufe Beispiele

$\frac{12 x^{2} - 14 x + 4}{3 x} \div \frac{3 x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{12 x^{2} - 14 x + 4}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2} - 14 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) - 14 x + 4}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 4}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2} - 7 x) + 2 (2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x^{2} - 7 x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2} - 7 x + 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 2 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2} - 7 (x) + 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 3$ plus $- 4$

$\frac{2 (6 x^{2} + (- 3 - 4) x + 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 x^{2} - 3 x - 4 x + 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((6 x^{2} - 3 x) - 4 x + 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (3 x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{2 ((2 x - 1) (3 x - 2))}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x) + 2 x}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{3 x^{2} + x - 2}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{3 x^{2} + 1 x - 2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{3 x^{2} + (- 2 + 3) x - 2}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{(3 x^{2} - 2 x) + 3 x - 2}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$\frac{2 (2 x - 1) (3 x - 2)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{(3 x - 2) (x + 1)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 x - 2$ aus $2 (2 x - 1) (3 x - 2)$ heraus.

$\frac{(3 x - 2) (2 (2 x - 1))}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{(3 x - 2) (x + 1)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x - 2) (2 (2 x - 1))}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{(3 x - 2) (x + 1)}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1)}{x \cdot 3} \cdot \frac{2 x (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x (x + 1)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1)}{x \cdot 3} \cdot \frac{x (2 (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x - 1)}{x \cdot 3} \cdot \frac{x (2 (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 x - 1)}{3} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x - 1)}{3}$ mit $\frac{2 (x + 1)}{x + 1}$ .

$\frac{2 (2 x - 1) (2 (x + 1))}{3 (x + 1)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 1)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 x - 1) (x + 1)}{3 (x + 1)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (2 x - 1)}{3}$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x + 4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 12

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x - 4}{3}$

Schritt 13

Zerlege den Bruch $\frac{8 x - 4}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{8 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x}{3} - \frac{4}{3}$