Algebravorstufe Beispiele

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \div \frac{3 k^{2}}{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot - 2 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 k$ heraus.

$\frac{12 k^{2} - 5 (k) - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$\frac{12 k^{2} + (3 - 8) k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 k^{2} + 3 k - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(12 k^{2} + 3 k) - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere $k$ aus $k^{2} + 9 k$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{2}$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $k$ aus $9 k$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + k \cdot 9} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $k$ aus $k \cdot k + k \cdot 9$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{3} + 7 k^{2} - 18 k$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{3}$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $k$ aus $7 k^{2}$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) - 18 k}{3 k^{2}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $k$ aus $- 18 k$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $k$ aus $k \cdot k^{2} + k (7 k)$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $k$ aus $k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18$ heraus.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k - 18)}{3 k^{2}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $k^{2} + 7 k - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $7$ ist.

$- 2, 9$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k ((k - 2) (k + 9))}{3 k^{2}}$

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k - 2) (k + 9)}{3 k^{2}}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k (k + 9) (3 k^{2})}$

Schritt 6

Multipliziere $k$ mit $k^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $k$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k^{1} (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2 + 1} (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $k$ und $k^{3}$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $k$ aus $(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))$ heraus.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $k$ aus $k^{3} (k + 9) \cdot 3$ heraus.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{(k^{2} (k + 9)) \cdot 3}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k + 9$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{k^{2} (k + 9) \cdot 3}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{(k^{2}) \cdot 3}$

Schritt 9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 10

Multipliziere $(4 k + 1) (3 k - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 k (3 k - 2) + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(4 \cdot 3 k \cdot k + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.2.1

Bewege $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 (k \cdot k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(12 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $3 k$ mit $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 11.2

Addiere $- 8 k$ und $3 k$ .

$\frac{(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Schritt 12

Multipliziere $(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{12 k^{2} k + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1

Bewege $k$ .

$\frac{12 (k \cdot k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $k$ mit $k^{2}$ .

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Schritt 13.1.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$\frac{12 (k^{1} k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 k^{1 + 2} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{12 k^{3} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.3

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.1

Bewege $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 (k \cdot k) - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Schritt 14

Subtrahiere $5 k^{2}$ von $- 24 k^{2}$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Schritt 15

Subtrahiere $2 k$ von $10 k$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$

Schritt 16

Zerlege den Bruch $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 17

Zerlege den Bruch $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 18

Zerlege den Bruch $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{12 k^{3}}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 19.1

Faktorisiere $3$ aus $12 k^{3}$ heraus.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 (k^{2})} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 k^{3}}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $k^{3}$ und $k^{2}$ .

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Schritt 20.1

Faktorisiere $k^{2}$ aus $4 k^{3}$ heraus.

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 k}{1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 20.2.4

Dividiere $4 k$ durch $1$ .

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k^{2}$ .

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Schritt 21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 21.2

Forme den Ausdruck um.

$4 k + \frac{- 29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $k$ und $k^{2}$ .

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Schritt 23.1

Faktorisiere $k$ aus $8 k$ heraus.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.2.1

Faktorisiere $k$ aus $3 k^{2}$ heraus.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Schritt 23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8}{3 k} + \frac{4}{3 k^{2}}$