Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $(x - 3) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$