Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 20}{x^{2} - 7 x + 12} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + x - 20}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Schritt 6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 6.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x + 5}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{x + 5}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{x + 5}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 3}{x + 5}$