Algebravorstufe Beispiele

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} - a - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 5$ .

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 5$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 5

Faktorisiere $5$ aus $45 - 5 a$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 a$ heraus.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (9) + 5 (- a)$ heraus.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Schritt 6

Faktorisiere $a^{2} - 13 a + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 9, - 4$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 - a$ und $a - 9$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 9) - (a)$ heraus.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Schritt 7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

Schritt 8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

Schritt 10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{5}{a - 4}$ mit $\frac{a + 4}{a + 5}$ .

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

Schritt 13

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

Schritt 14

Zerlege den Bruch $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$