Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 9, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 243$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 243$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ heraus.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 9$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 9$ .

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + 12 x + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $12$ ist.

$3, 9$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 9$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x + 9$ aus $3 (x + 9)$ heraus.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x + 9$ aus ${(x + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Schritt 8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 9$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$