Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8 x + 12}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 9}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 3)}^{2}$ und $x - 3$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))$ heraus.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))$ heraus.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x - 6)}{(x + 2) (x + 3)}$