Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 12 x + 36} \div \frac{4 x - 28}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 12 x + 6^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 x - 28}$

Schritt 5

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 28$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x) - 28}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 28$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 x + 4 \cdot - 7}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 7$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x - 7)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{(x + 7) (x - 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} (4 (x - 7))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (x - 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} (4 (x - 7))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} \cdot (4)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 6$ und ${(x - 6)}^{2}$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - 6$ aus $(x + 7) ((x - 6) (x + 1))$ heraus.

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} \cdot (4)}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x - 6$ aus ${(x - 6)}^{2} \cdot (4)$ heraus.

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{(x - 6) ((x - 6) \cdot 4)}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{(x - 6) ((x - 6) \cdot 4)}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 7) (x + 1)}{(x - 6) \cdot 4}$

Schritt 9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$\frac{(x + 7) (x + 1)}{4 (x - 6)}$