Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x^{2} - 11 x + 5} \div \frac{x^{2} - 5 x - 6}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} - 5 x - 6}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x - 6) (x + 1)}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{(x - 5) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 5}$ mit $\frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x - 6) (x + 1)}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2) (2 x - 1) (x - 3)}{(x^{2} - 11 x + 5) (x - 6) (x + 1)}$