Algebravorstufe Beispiele

$\frac{z^{2} - 9}{z} \div \frac{z + 3}{z - 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{z^{2} - 9}{z} \cdot \frac{z - 3}{z + 3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{z^{2} - 3^{2}}{z} \cdot \frac{z - 3}{z + 3}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{z} \cdot \frac{z - 3}{z + 3}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 3$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{z} \cdot \frac{z - 3}{z + 3}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z - 3}{z} (z - 3)$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{z - 3}{z}$ mit $z - 3$ .

$\frac{(z - 3) (z - 3)}{z}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $z - 3$ mit $1$ .

$\frac{{(z - 3)}^{1} (z - 3)}{z}$

Schritt 5.2

Potenziere $z - 3$ mit $1$ .

$\frac{{(z - 3)}^{1} {(z - 3)}^{1}}{z}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(z - 3)}^{1 + 1}}{z}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(z - 3)}^{2}}{z}$

Schritt 6

Schreibe ${(z - 3)}^{2}$ als $(z - 3) (z - 3)$ um.

$\frac{(z - 3) (z - 3)}{z}$

Schritt 7

Multipliziere $(z - 3) (z - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z (z - 3) - 3 (z - 3)}{z}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 3 - 3 (z - 3)}{z}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 3 - 3 z - 3 \cdot - 3}{z}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot - 3 - 3 z - 3 \cdot - 3}{z}$

Schritt 8.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{z^{2} - 3 \cdot z - 3 z - 3 \cdot - 3}{z}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{z^{2} - 3 z - 3 z + 9}{z}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3 z$ von $- 3 z$ .

$\frac{z^{2} - 6 z + 9}{z}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{z^{2} - 6 z + 9}{z}$ in zwei Brüche.

$\frac{z^{2} - 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{z^{2} - 6 z}{z}$ in zwei Brüche.

$\frac{z^{2}}{z} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z^{2}$ und $z$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2}$ heraus.

$\frac{z \cdot z}{z} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{z \cdot z}{z^{1}} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $z$ aus $z^{1}$ heraus.

$\frac{z \cdot z}{z \cdot 1} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z \cdot z}{z \cdot 1} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z}{1} + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 11.2.5

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z + \frac{- 6 z}{z} + \frac{9}{z}$

Schritt 12.2

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$z - 6 + \frac{9}{z}$