Algebravorstufe Beispiele

$(8 x^{3} + 2 x^{2} y - 8 x y^{2} - 2 y^{3}) \div (4 x^{2} - 3 x y - y^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{8 x^{3} + 2 x^{2} y - 8 x y^{2} - 2 y^{3}}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3} + 2 x^{2} y - 8 x y^{2} - 2 y^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 x^{2} y - 8 x y^{2} - 2 y^{3}}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (x^{2} y) - 8 x y^{2} - 2 y^{3}}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (x^{2} y) + 2 (- 4 x y^{2}) - 2 y^{3}}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (x^{2} y) + 2 (- 4 x y^{2}) + 2 (- y^{3})}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{3}) + 2 (x^{2} y)$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3} + x^{2} y) + 2 (- 4 x y^{2}) + 2 (- y^{3})}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{3} + x^{2} y) + 2 (- 4 x y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3} + x^{2} y - 4 x y^{2}) + 2 (- y^{3})}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{3} + x^{2} y - 4 x y^{2}) + 2 (- y^{3})$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3} + x^{2} y - 4 x y^{2} - y^{3})}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((4 x^{3} + x^{2} y) - 4 x y^{2} - y^{3})}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x^{2} (4 x + y) - y^{2} (4 x + y))}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + y$ .

$\frac{2 ((4 x + y) (x^{2} - y^{2}))}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} - y^{2} - 3 x y}$

Schritt 3.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $- 3 x y$ um.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x y$ heraus.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} - 3 (x y) - y^{2}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} + (1 - 4) (x y) - y^{2}}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} + 1 (x y) - 4 (x y) - y^{2}}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} + x y - 4 (x y) - y^{2}}$

Schritt 3.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{4 x^{2} + x y - 4 x y - y^{2}}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{(4 x^{2} + x y) - 4 x y - y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{x (4 x + y) - y (4 x + y)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + y$ .

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{(4 x + y) (x - y)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x + y$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x + y) (x + y) (x - y)}{(4 x + y) (x - y)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 (x + y)) (x - y)}{x - y}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + y) (x - y)}{x - y}$

Schritt 5.2

Dividiere $2 (x + y)$ durch $1$ .

$2 (x + y)$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 y$