Algebravorstufe Beispiele

$\frac{- 7 \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 9}$

Schritt 1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 \sqrt{x} - 5$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 \sqrt{x}$ heraus.

$\frac{- (7 \sqrt{x}) - 5}{\sqrt{x} + 9}$

Schritt 1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- (7 \sqrt{x}) - 1 (5)}{\sqrt{x} + 9}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 \sqrt{x}) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (7 \sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} + 9}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$ mit $\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9}$ .

$- (\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9} \cdot \frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9})$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$ mit $\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9}$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{(\sqrt{x} + 9) (\sqrt{x} - 9)}$

Schritt 5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 9 + 9 \sqrt{x} - 81}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 81}$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 81}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{2}{2}} - 81}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{2}{2}} - 81}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{1} - 81}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Schritt 7

Multipliziere $(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 9) + 5 (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 \sqrt{x} \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 \sqrt{x} \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere $7 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$- \frac{7 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$- \frac{7 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{7 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{7 {\sqrt{x}}^{2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 8.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{7 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7 x^{1} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.2.5

Vereinfache.

$- \frac{7 x + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$- \frac{7 x - 63 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$- \frac{7 x - 63 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} - 45}{x - 81}$

Schritt 8.2

Addiere $- 63 \sqrt{x}$ und $5 \sqrt{x}$ .

$- \frac{7 x - 58 \sqrt{x} - 45}{x - 81}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Schritt 9.2

Schreibe $x$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$- \frac{7 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Schritt 9.3

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 u^{2} - 58 u - 45}{x - 81}$

Schritt 9.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 45 = - 315$ und deren Summe gleich $b = - 58$ ist.

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Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $- 58$ aus $- 58 u$ heraus.

$- \frac{7 u^{2} - 58 (u) - 45}{x - 81}$

Schritt 9.4.1.2

Schreibe $- 58$ um als $5$ plus $- 63$

$- \frac{7 u^{2} + (5 - 63) u - 45}{x - 81}$

Schritt 9.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 u^{2} + 5 u - 63 u - 45}{x - 81}$

Schritt 9.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{(7 u^{2} + 5 u) - 63 u - 45}{x - 81}$

Schritt 9.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{u (7 u + 5) - 9 (7 u + 5)}{x - 81}$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 u + 5$ .

$- \frac{(7 u + 5) (u - 9)}{x - 81}$

Schritt 9.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(7 x^{\frac{1}{2}} + 5) (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Schritt 10

Multipliziere $(7 x^{\frac{1}{2}} + 5) (x^{\frac{1}{2}} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 9) + 5 (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{7 x^{1} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.2

Vereinfache $7 x^{1}$ .

$- \frac{7 x + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$- \frac{7 x - 63 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$- \frac{7 x - 63 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Schritt 11.2

Addiere $- 63 x^{\frac{1}{2}}$ und $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Schritt 12

Zerlege den Bruch $\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Schritt 13

Zerlege den Bruch $\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{7 x}{x - 81} + \frac{- 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{7 x}{x - 81} - \frac{58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{7 x}{x - 81} - \frac{58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} - \frac{45}{x - 81})$