Algebravorstufe Beispiele

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x) + x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1

Multipliziere $(x + 3) (x^{2} - 3 x) + x (x - 3)$ aus.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} - 3 x) + 3 (x^{2} - 3 x) + x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 3 (x^{2} - 3 x) + x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + x \cdot x + x \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.5

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 3 x) + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + x \cdot x + x \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.6

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 \cdot (x \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + x \cdot x + x \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.7

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 \cdot (x \cdot x) + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x + x \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.8

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} - 3 x \cdot x + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.11

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} - 3 x \cdot x + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 (x \cdot x) + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 (x \cdot x) + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 3 x^{1 + 1} + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.16

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} - 9 x + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.17

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 9 x + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.18

Subtrahiere $9 x$ von $0$ .

$\frac{x^{3} - 9 x + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 9 x + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 9 x + x \cdot x - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 9 x + x^{1 + 1} - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 9 x + x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.23

Bewege $- 9 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 3 x - 9 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.24

Subtrahiere $9 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.4

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Schritt 2.10

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x^{2} + 0 - 9}$

Schritt 2.11

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12 x}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

Schritt 4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

Schritt 5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 - 9 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$x^{2}$

$3 x$

Schritt 8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Schritt 9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Schritt 10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$x^{2}$

$12 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$9$

Schritt 11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 - 9$

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$12 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
							-	$x^{2}$	-	$0$	+	$9$

Schritt 12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$12 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
							-	$x^{2}$	-	$0$	+	$9$
									-	$3 x$	+	$9$

Schritt 13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + 1 + \frac{- 3 x + 9}{x^{2} - 9}$