Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{2 x^{2} + x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7}}{\frac{3 x - 9}{5 x + 7}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 x^{2} + x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 6$ plus $7$

$\frac{2 x^{2} + (- 6 + 7) x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 7 x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 6 x) + 7 x - 21}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (x - 3) + 7 (x - 3)}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{5 x^{2} + 12 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 7 = 35$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{5 x^{2} + 12 (x) + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $12$ um als $5$ plus $7$

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{5 x^{2} + (5 + 7) x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{5 x^{2} + 5 x + 7 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(5 x^{2} + 5 x) + 7 x + 7} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{5 x (x + 1) + 7 (x + 1)} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) (5 x + 7)} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x + 7$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5 x + 7$ aus $(x + 1) (5 x + 7)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(5 x + 7) (x + 1)} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(5 x + 7) (x + 1)} \cdot \frac{5 x + 7}{3 x - 9}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{x + 1} \cdot \frac{1}{3 x - 9}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{x + 1}$ mit $\frac{1}{3 x - 9}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) (3 x - 9)}$

Schritt 6

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) (3 (x) - 9)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) (3 x + 3 \cdot - 3)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) (3 (x - 3))}$

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) \cdot 3 (x - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (2 x + 7)}{(x + 1) \cdot 3 (x - 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + 7}{(x + 1) \cdot 3}$

Schritt 8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{2 x + 7}{3 (x + 1)}$