Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{4} - 16}{x^{3} + 27}}{\frac{x + 2}{2 x + 6}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{4} - 16}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 16}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 3^{3}} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2})} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} (2 x + 6)$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{(x^{2} + 4) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$ mit $2 x + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 x + 6)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 6

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 (x) + 6)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 x + 2 \cdot 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 (x + 3))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2 (x + 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2 (x + 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2}{x^{2} - 3 x + 9}$

Schritt 8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4) (x - 2)}{x^{2} - 3 x + 9}$