Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125}}{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} \cdot (5 x) + 25}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 5^{3}}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 \cdot x + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 5^{3}} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $x^{2} \cdot (5 x) + 25$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $x^{2} \cdot (5 x)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 25}{x^{2} - 25}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5}{x^{2} - 25}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x) + 5)}{x^{2} - 25}$

Schritt 4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot x^{1} + 5)}{x^{2} - 25}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2 + 1} + 5)}{x^{2} - 25}$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 25}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) (x + 5)}$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)}$

Schritt 8.2

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Schritt 8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Schritt 8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Schritt 9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2} + 5 x + 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$