Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}}{\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 3 x - 18}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 18}{4 - x^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 18}{4 - x^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 18}{4 - x^{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 18}{4 - x^{2}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 18}{4 - x^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $3$ ist.

$- 3, 6$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{4 - x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{2^{2} - x^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - 2) \frac{x + 6}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $x - 2$ mit $\frac{x + 6}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und $2 - x$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) - 2) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 9.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (2)) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x + 2) (x + 6)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- x + 2) (x + 6)}{(2 + x) (- x + 2)}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x + 2) (x + 6)}{(2 + x) (- x + 2)}$

Schritt 9.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x + 6)}{2 + x}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 6}{2 + x}$