Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9}}{\frac{1}{x + 5}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} (x + 5)$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} (x + 5)$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} (x + 5)$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$ mit $x + 5$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$\frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 7

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (x (x + 5) + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 9

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.4

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.5

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 11

Subtrahiere $x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 12

Subtrahiere $10 x$ von $25 x$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 13

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 14

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 15

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{25}{{(x - 3)}^{2}}$