Algebravorstufe Beispiele

$\frac{n^{5} + n^{2}}{n^{2} + n}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $n^{5} + n^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $n^{5}$ heraus.

$\frac{n^{2} n^{3} + n^{2}}{n^{2} + n}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{n^{2} n^{3} + n^{2} \cdot 1}{n^{2} + n}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $n^{2}$ aus $n^{2} n^{3} + n^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{n^{2} (n^{3} + 1)}{n^{2} + n}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{n^{2} (n^{3} + 1^{3})}{n^{2} + n}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$\frac{n^{2} ((n + 1) (n^{2} - n \cdot 1 + 1^{2}))}{n^{2} + n}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{n^{2} ((n + 1) (n^{2} - n + 1^{2}))}{n^{2} + n}$

Schritt 1.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{n^{2} ((n + 1) (n^{2} - n + 1))}{n^{2} + n}$

$\frac{n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n^{2} + n}$

Schritt 2

Faktorisiere $n$ aus $n^{2} + n$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{2}$ heraus.

$\frac{n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n \cdot n + n}$

Schritt 2.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n \cdot n + n^{1}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $n$ aus $n^{1}$ heraus.

$\frac{n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n \cdot n + n \cdot 1}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $n$ aus $n \cdot n + n \cdot 1$ heraus.

$\frac{n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n (n + 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n^{2}$ und $n$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{2} (n + 1) (n^{2} - n + 1)$ heraus.

$\frac{n ((n (n + 1)) (n^{2} - n + 1))}{n (n + 1)}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n ((n (n + 1)) (n^{2} - n + 1))}{n (n + 1)}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(n (n + 1)) (n^{2} - n + 1)}{n + 1}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n (n + 1) (n^{2} - n + 1)}{n + 1}$

Schritt 4.2

Dividiere $(n) (n^{2} - n + 1)$ durch $1$ .

$(n) (n^{2} - n + 1)$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n^{2} + n (- n) + n \cdot 1$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere $n$ mit $n^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$n^{1} n^{2} + n (- n) + n \cdot 1$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$n^{1 + 2} + n (- n) + n \cdot 1$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$n^{3} + n (- n) + n \cdot 1$

Schritt 6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$n^{3} - n \cdot n + n \cdot 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n^{3} - n \cdot n + n$

Schritt 7

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $n$ .

$n^{3} - (n \cdot n) + n$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n^{3} - n^{2} + n$