Algebravorstufe Beispiele

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \div \frac{- 9 f - 27}{f^{2} - 12 f + 36}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{f^{2} - 3^{2}}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = f$ und $b = 3$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- f^{3} + 6 f^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- f^{3}$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $f^{2}$ aus $6 f^{2}$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 f = 2 \cdot f \cdot 6$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 2 \cdot f \cdot 6 + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = f$ und $b = 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{- 9 f - 27}$

Schritt 5

Faktorisiere $9$ aus $- 9 f - 27$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 f$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) - 27}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) + 9 (- 3)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- f) + 9 (- 3)$ heraus.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f - 3)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{(f + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $f + 3$ und $- f - 3$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $f$ heraus.

$\frac{(- 1 (- f) + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Schritt 7.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(- 1 (- f) - 1 (- 3)) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- f) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Schritt 7.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 1 (f - 3)) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(f - 6)}^{2}$ und $- f + 6$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $f$ heraus.

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.2

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 1 (6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- f) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f + 6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.4

Wende die Produktregel auf $- 1 (- f + 6)$ an.

$\frac{- 1 (f - 3) ({(- 1)}^{2} {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (1 {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere ${(- f + 6)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- f + 6$ aus $- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}$ heraus.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{f^{2} (- f + 6) \cdot 9}$

Schritt 8.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere $- f + 6$ aus $f^{2} (- f + 6) \cdot 9$ heraus.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{f^{2} \cdot 9}$

Schritt 9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $f^{2}$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Schritt 11

Faktorisiere $- 1$ aus $- f$ heraus.

$- \frac{(f - 3) (- (f) + 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 12

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- \frac{(f - 3) (- (f) - 1 (- 6))}{9 f^{2}}$

Schritt 13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (f) - 1 (- 6)$ heraus.

$- \frac{(f - 3) (- (f - 6))}{9 f^{2}}$

Schritt 14

Schreibe $- (f - 6)$ als $- 1 (f - 6)$ um.

$- \frac{(f - 3) (- 1 (f - 6))}{9 f^{2}}$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 18

Multipliziere $(f - 3) (f - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{f (f - 6) - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Schritt 18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Schritt 19

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$\frac{f^{2} + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Schritt 19.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $f$ .

$\frac{f^{2} - 6 \cdot f - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Schritt 19.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$\frac{f^{2} - 6 f - 3 f + 18}{9 f^{2}}$

Schritt 19.2

Subtrahiere $3 f$ von $- 6 f$ .

$\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$

Schritt 20

Zerlege den Bruch $\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 21

Zerlege den Bruch $\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 22

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{2}$ .

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Schritt 22.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 22.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 23.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 f$ heraus.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 f^{2}$ heraus.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 (f^{2})} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} + \frac{- f}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $f$ und $f^{2}$ .

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Schritt 24.1

Faktorisiere $f$ aus $- f$ heraus.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.2.1

Faktorisiere $f$ aus $f^{2}$ heraus.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} + \frac{- 1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Schritt 26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $9$ .

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Schritt 26.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Schritt 26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 26.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 f^{2}$ heraus.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 (f^{2})}$

Schritt 26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Schritt 26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{2}{f^{2}}$