Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

Schritt 3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{21} - \sqrt{21} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1}}{4}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 6

Schreibe ${(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}$ als $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 7

Multipliziere $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{\sqrt{49} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{7 + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{7 + \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Schritt 8.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{9}}{4}$

Schritt 8.1.11

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Schritt 8.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + 3}{4}$

Schritt 8.2

Addiere $7$ und $3$ .

$\frac{10 + \sqrt{21} + \sqrt{21}}{4}$

Schritt 8.3

Addiere $\sqrt{21}$ und $\sqrt{21}$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 + 2 \sqrt{21}$ und $4$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{21}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})}{4}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})$ heraus.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{4}$

Schritt 9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 (2)}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Dezimalform:

$4.79128784 \dots$