Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \div \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x y$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x (y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (y)$ heraus.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 3 x (2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (2)$ heraus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}$

Schritt 6.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $- 2 x y$ um.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}$

Schritt 6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}$

Schritt 6.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{x (3 x + y) - y (3 x + y)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + y$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x + y) (x - y)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - y$ aus $(3 x + y) (x - y)$ heraus.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x + y}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x (x + 2)$ heraus.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 2)}{3 x + y}$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{3 x + y}$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 6}{3 x + y}$

Schritt 11

Zerlege den Bruch $\frac{3 x + 6}{3 x + y}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x}{3 x + y} + \frac{6}{3 x + y}$