Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 3

Faktorisiere $p^{2} - 4 p - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- p$ heraus.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - (p) - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 2) p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{p (2 p + 1) - (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 p + 1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 5

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} + p$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $p$ aus $p^{2}$ heraus.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 5.2

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $p$ aus $p^{1}$ heraus.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $p$ aus $p \cdot p + p \cdot 1$ heraus.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 1$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $p + 1$ aus $(p - 5) (p + 1)$ heraus.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $p + 1$ aus $p (p + 1)$ heraus.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)}$ mit $\frac{1}{p}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Schritt 8

Faktorisiere $p^{2} + p - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p}$ mit $\frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Schritt 9.2

Potenziere $p - 1$ mit $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Schritt 9.3

Potenziere $p - 1$ mit $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Schritt 9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Schritt 9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Forme um.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Schritt 10.2

Potenziere $p - 1$ mit $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Schritt 10.3

Potenziere $p - 1$ mit $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Schritt 10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Schritt 10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Schritt 10.6

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Schritt 11

Stelle die Faktoren in $\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ um.

$\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Schritt 12

Zerlege den Bruch $\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ in zwei Brüche.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} - \frac{5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$