Algebravorstufe Beispiele

$| \frac{4}{7} x - 4 | > 12$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{4}{7} x - 4 | > 12$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{4}{7} x - 4 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{7} - 4 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 x}{7} \geq 4$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 \geq 4 \cdot 7$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 \geq 4 \cdot 7$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x \geq 4 \cdot 7$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$4 x \geq 28$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 28$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 28$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{28}{4}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{28}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{28}{4}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $28$ durch $4$ .

$x \geq 7$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{4}{7} x - 4$ nicht negativ ist.

$\frac{4}{7} x - 4 > 12$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{4}{7} x - 4 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{7} - 4 < 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 x}{7} < 4$

Schritt 1.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 < 4 \cdot 7$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 < 4 \cdot 7$

Schritt 1.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x < 4 \cdot 7$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$4 x < 28$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 28$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 28$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{28}{4}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{28}{4}$

Schritt 1.5.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{28}{4}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1

Dividiere $28$ durch $4$ .

$x < 7$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{4}{7} x - 4$ negativ ist.

$- (\frac{4}{7} x - 4) > 12$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{4}{7} x - 4 > 12 & x \geq 7 \\ - (\frac{4}{7} x - 4) > 12 & x < 7 \end{cases}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{4 x}{7} - 4 > 12 & x \geq 7 \\ - (\frac{4}{7} x - 4) > 12 & x < 7 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (\frac{4}{7} x - 4) > 12$ .

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Schritt 1.9.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{4 x}{7} - 4 > 12 & x \geq 7 \\ - (\frac{4 x}{7} - 4) > 12 & x < 7 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{4 x}{7} - 4 > 12 & x \geq 7 \\ - \frac{4 x}{7} - - 4 > 12 & x < 7 \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

${\begin{cases} \frac{4 x}{7} - 4 > 12 & x \geq 7 \\ - \frac{4 x}{7} + 4 > 12 & x < 7 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{4 x}{7} - 4 > 12$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 x}{7} > 12 + 4$

Schritt 2.1.2

Addiere $12$ und $4$ .

$\frac{4 x}{7} > 16$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 > 16 \cdot 7$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 > 16 \cdot 7$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x > 16 \cdot 7$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$4 x > 112$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 112$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 112$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{112}{4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} > \frac{112}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{112}{4}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Dividiere $112$ durch $4$ .

$x > 28$

Schritt 3

Löse $- \frac{4 x}{7} + 4 > 12$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{4 x}{7} > 12 - 4$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$- \frac{4 x}{7} > 8$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{4 x}{7} > 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{4 x}{7} > 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{4 x}{7}}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{4 x}{7}}{1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{4 x}{7}$ durch $1$ .

$\frac{4 x}{7} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$\frac{4 x}{7} < - 8$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 < - 8 \cdot 7$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{7} \cdot 7 < - 8 \cdot 7$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x < - 8 \cdot 7$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$4 x < - 56$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x < - 56$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < - 56$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 56}{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 56}{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 56}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Dividiere $- 56$ durch $4$ .

$x < - 14$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 14$ oder $x > 28$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 14 or x > 28$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 14) \cup (28, \infty)$

Schritt 6