Algebravorstufe Beispiele

$(\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}) \div (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 - x) (x - 2) x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$ mit $\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x}$ .

$\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x} \cdot \frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2})}{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 - x) (x - 2) x$ heraus.

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(2 - x) (x - 2) x$ heraus.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $(2 - x) (x - 2) x$ heraus.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - (x)) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (- 2 + x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.7

Stelle die Terme um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (x - 2) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.8

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.9

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{2} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(2 - x) (x - 2) x$ heraus.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $(x - 2) x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $(2 - x) x \cdot 5$ heraus.

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)$ heraus.

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 8 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (4 x - 8 + 2 \cdot 5 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - 5 x)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.8

Subtrahiere $5 x$ von $4 x$ .

$\frac{x (- x - 8 + 10)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 5.9

Addiere $- 8$ und $10$ .

$\frac{x (- x + 2)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + (2 - x) x \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $(2 - x) x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x)}$

Schritt 6.2

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 ((x - 2) (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.4.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 4 x + 4) + (2 - x) x)}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + (2 - x) x)}$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x \cdot x)}$

Schritt 6.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - (x \cdot x))}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x^{2})}$

Schritt 6.9

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x)}$

Schritt 6.10

Addiere $8 x$ und $2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 x - 8)}$

Schritt 6.11

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 8 = 24$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 (x) - 8)}$

Schritt 6.11.1.2

Schreibe $10$ um als $4$ plus $6$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + (4 + 6) x - 8)}$

Schritt 6.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 4 x + 6 x - 8)}$

Schritt 6.11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x^{2} + 4 x) + 6 x - 8)}$

Schritt 6.11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (x (- 3 x + 4) - 2 (- 3 x + 4))}$

Schritt 6.11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x + 4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x + 4) (x - 2))}$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 2$ und $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{x (- (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot (- 1)}{2 (- 3 x + 4)}$

Schritt 8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 (- 3 x + 4)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 (- 3 x + 4)}$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$- \frac{x}{2 (- (3 x) + 4)}$

Schritt 11

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$- \frac{x}{2 (- (3 x) - 1 (- 4))}$

Schritt 12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$- \frac{x}{2 (- (3 x - 4))}$

Schritt 13

Schreibe $- (3 x - 4)$ als $- 1 (3 x - 4)$ um.

$- \frac{x}{2 (- 1 (3 x - 4))}$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{x}{2 (3 x - 4)}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 (3 x - 4)}$