Algebravorstufe Beispiele

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \div \frac{7 x + 20}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \frac{x^{2} + 7 x + 10}{7 x + 20}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 3

Um $\frac{2}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{10}{x + 5}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 4

Um $\frac{10}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{10}{x + 5} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 2}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10}{x + 5} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{10}{x + 5}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10 (x + 2)}{(x + 5) (x + 2)}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(x + 5) (x + 2)$ um.

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10 (x + 2)}{(x + 2) (x + 5)}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x + 5) + 10 (x + 2)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 5) + 10 (x + 2)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (x + 2)$ heraus.

$\frac{2 (x + 5) + 2 (5 (x + 2))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 5) + 2 (5 (x + 2))$ heraus.

$\frac{2 (x + 5 + 5 (x + 2))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x + 5 + 5 x + 5 \cdot 2)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 (x + 5 + 5 x + 10)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.4

Addiere $x$ und $5 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 + 10)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.5

Addiere $5$ und $10$ .

$\frac{2 (6 x + 15)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $3$ aus $6 x + 15$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 (2 x) + 15)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{2 (3 (2 x) + 3 (5))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (5)$ heraus.

$\frac{2 (3 (2 x + 5))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

$\frac{2 \cdot 3 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 2) (x + 5)$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (2 x + 5) \frac{1}{7 x + 20}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{7 x + 20}$ und $6$ .

$\frac{6}{7 x + 20} (2 x + 5)$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{6}{7 x + 20}$ mit $2 x + 5$ .

$\frac{6 (2 x + 5)}{7 x + 20}$