Algebravorstufe Beispiele

${(\sqrt{\frac{49}{8}})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{8}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{8}}$ um.

${(\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{8}})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

${(\frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{8}})}^{3}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

${(\frac{7}{\sqrt{8}})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

${(\frac{7}{\sqrt{4 (2)}})}^{3}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(\frac{7}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}^{3}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

${(\frac{7}{2 \sqrt{2}})}^{3}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{7}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3}$

Schritt 5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3}$

Schritt 5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{3}$

Schritt 5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{3}$

Schritt 5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{3}$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3}$

Schritt 5.6

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}^{3}$

Schritt 5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3}$

Schritt 5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3}$

Schritt 5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Schritt 5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Schritt 5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}^{3}$

Schritt 5.7.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{3}$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{7 \sqrt{2}}{4})}^{3}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$ an.

$\frac{{(7 \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 7.2

Wende die Produktregel auf $7 \sqrt{2}$ an.

$\frac{7^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{343 {\sqrt{2}}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 8.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{343 \sqrt{2^{3}}}{4^{3}}$

Schritt 8.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{343 \sqrt{8}}{4^{3}}$

Schritt 8.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{343 \sqrt{4 (2)}}{4^{3}}$

Schritt 8.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{343 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4^{3}}$

Schritt 8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{343 \cdot 2 \sqrt{2}}{4^{3}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $343$ mit $2$ .

$\frac{686 \sqrt{2}}{4^{3}}$

Schritt 9

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{686 \sqrt{2}}{64}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $686$ und $64$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $686 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (343 \sqrt{2})}{64}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 (343 \sqrt{2})}{2 (32)}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (343 \sqrt{2})}{2 \cdot 32}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{343 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{343 \sqrt{2}}{32}$

Dezimalform:

$15.15860162 \dots$