Algebravorstufe Beispiele

${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19}}{6} \cdot i)}^{2}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{\sqrt{19}}{6}$ und $i$ .

${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})}^{2}$

Schritt 2

Schreibe ${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})}^{2}$ als $(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$ um.

$(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Schritt 3

Multipliziere $(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) + \frac{\sqrt{19} i}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6 \cdot 6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6 \cdot 6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ mit $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i (\sqrt{19} i)}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19} i i}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1} i i}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1 + 1} i i}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i i}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i)}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.7

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i^{1})}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{1 + 1}}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{2}}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4.10

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 4.1.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{1} i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19 i^{2}}{36}$

Schritt 4.1.5.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19 \cdot - 1}{36}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{- 19}{36}$

Schritt 4.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} - \frac{19}{36}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 19}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $19$ von $1$ .

$\frac{- 18}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 18}{36} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $36$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $18$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{18 (- 1)}{36} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $18$ aus $36$ heraus.

$\frac{18 \cdot - 1}{18 \cdot 2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 \cdot - 1}{18 \cdot 2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $36$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{19} i$ heraus.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{36}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{2 \cdot 18}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{2 \cdot 18}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{18}$