Algebravorstufe Beispiele

$\frac{{(2 + h)}^{3} - 8}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{{(2 + h)}^{3} - 2^{3}}{h}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 + h$ und $b = 2$ .

$\frac{(2 + h - 2) ({(2 + h)}^{2} + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{(h + 0) ({(2 + h)}^{2} + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.2

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h ({(2 + h)}^{2} + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.3

Schreibe ${(2 + h)}^{2}$ als $(2 + h) (2 + h)$ um.

$\frac{h ((2 + h) (2 + h) + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4

Multipliziere $(2 + h) (2 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (2 (2 + h) + h (2 + h) + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h) + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{h (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{h (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{h (4 + 2 h + 2 h + h^{2} + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $2 h$ und $2 h$ .

$\frac{h (4 + 4 h + h^{2} + (2 + h) \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (4 + 4 h + h^{2} + 2 \cdot 2 + h \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{h (4 + 4 h + h^{2} + 4 + h \cdot 2 + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{h (4 + 4 h + h^{2} + 4 + 2 \cdot h + 2^{2})}{h}$

Schritt 1.3.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{h (4 + 4 h + h^{2} + 4 + 2 h + 4)}{h}$

Schritt 1.3.10

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{h (4 h + h^{2} + 8 + 2 h + 4)}{h}$

Schritt 1.3.11

Addiere $4 h$ und $2 h$ .

$\frac{h (6 h + h^{2} + 8 + 4)}{h}$

Schritt 1.3.12

Addiere $8$ und $4$ .

$\frac{h (6 h + h^{2} + 12)}{h}$

Schritt 1.3.13

Stelle die Terme um.

$\frac{h (h^{2} + 6 h + 12)}{h}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 6 h + 12)}{h}$

Schritt 2.2

Dividiere $h^{2} + 6 h + 12$ durch $1$ .

$h^{2} + 6 h + 12$