Algebravorstufe Beispiele

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \div \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a^{2} + a b - b^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Stelle die Terme um.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $- b^{2}$ und $a b$ um.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $1$ aus $a b$ heraus.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Versetze die Klammern.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{a (2 a - 1 b) + b (2 a - b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 a - 1 b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - 1 b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere $- 1$ aus $b$ heraus.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - (2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- b) - (2 a)$ heraus.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 6

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}$ zum Zähler.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{- b + 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{2 a - b}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $a + b$ aus ${(a + b)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 a - b$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$(a - b) \cdot 1$

Schritt 13

Mutltipliziere $a - b$ mit $1$ .

$a - b$