Algebravorstufe Beispiele

$(x^{4} - 12 x^{2} - 12) \div (x + 3)$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

Schritt 11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} - 9 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Schritt 16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$12$

Schritt 17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$12$

Schritt 18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$12$

$9 x$

$27$

Schritt 19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x + 27$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$12$

$9 x$

$27$

Schritt 20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$12$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$12$

$9 x$

$27$

$39$

Schritt 21

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 9 - \frac{39}{x + 3}$