Algebravorstufe Beispiele

$(x^{- 2} - y^{- 2}) \div (x^{- 1} + y^{- 1})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{- 2}$ als ${(x^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.2

Schreibe $y^{- 2}$ als ${(y^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{- 1}$ und $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.5

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.6

Um $\frac{1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.7.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.9

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.10

Um $- \frac{1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.11.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + y^{- 1}}$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

Schritt 3.3

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}$

Schritt 3.4

Um $\frac{1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Schritt 3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{y + x}{x y}$ mit $\frac{y - x}{x y}$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + x$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - x}{x^{2} y^{2}} (x y)$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x y$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - x}{x y}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{y - x}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$