Algebravorstufe Beispiele

$(15 a^{6} - 9 a^{8} + 6 a^{4}) \div 3 a^{6}$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{15 a^{6} - 9 a^{8} + 6 a^{4}}{3 a^{6}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $15 a^{6} - 9 a^{8} + 6 a^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $15 a^{6}$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (5 a^{2}) - 9 a^{8} + 6 a^{4}}{3 a^{6}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $- 9 a^{8}$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (5 a^{2}) + 3 a^{4} (- 3 a^{4}) + 6 a^{4}}{3 a^{6}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $6 a^{4}$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (5 a^{2}) + 3 a^{4} (- 3 a^{4}) + 3 a^{4} (2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $3 a^{4} (5 a^{2}) + 3 a^{4} (- 3 a^{4})$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (5 a^{2} - 3 a^{4}) + 3 a^{4} (2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $3 a^{4}$ aus $3 a^{4} (5 a^{2} - 3 a^{4}) + 3 a^{4} (2)$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (5 a^{2} - 3 a^{4} + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{4} + 5 a^{2} + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{4} + 5 (a^{2}) + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{4} + (- 1 + 6) a^{2} + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{4} - 1 a^{2} + 6 a^{2} + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 a^{4} ((- 3 a^{4} - 1 a^{2}) + 6 a^{2} + 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 a^{4} (a^{2} (- 3 a^{2} - 1) - 2 (- 3 a^{2} - 1))}{3 a^{6}}$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 a^{2} - 1$ .

$\frac{3 a^{4} ((- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2))}{3 a^{6}}$

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a^{4} (- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2)}{3 a^{6}}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a^{4} (- 3 a^{2} - 1)) (a^{2} - 2)}{a^{6}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{4}$ und $a^{6}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a^{4}$ aus $(a^{4} (- 3 a^{2} - 1)) (a^{2} - 2)$ heraus.

$\frac{a^{4} ((- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2))}{a^{6}}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $a^{4}$ aus $a^{6}$ heraus.

$\frac{a^{4} ((- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2))}{a^{4} a^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{4} ((- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2))}{a^{4} a^{2}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 3 a^{2} - 1) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 a^{2}$ heraus.

$\frac{(- (3 a^{2}) - 1) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (3 a^{2}) - 1 (1)) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 a^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (3 a^{2} + 1) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 8

Schreibe $- (3 a^{2} + 1)$ als $- 1 (3 a^{2} + 1)$ um.

$\frac{- 1 (3 a^{2} + 1) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 a^{2} + 1) (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 10

Multipliziere $(3 a^{2} + 1) (a^{2} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 a^{2} (a^{2} - 2) + 1 (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 a^{2} a^{2} + 3 a^{2} \cdot - 2 + 1 (a^{2} - 2)}{a^{2}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 a^{2} a^{2} + 3 a^{2} \cdot - 2 + 1 a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $a^{2}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.1

Bewege $a^{2}$ .

$- \frac{3 (a^{2} a^{2}) + 3 a^{2} \cdot - 2 + 1 a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 a^{2 + 2} + 3 a^{2} \cdot - 2 + 1 a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{3 a^{4} + 3 a^{2} \cdot - 2 + 1 a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- \frac{3 a^{4} - 6 a^{2} + 1 a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 a^{4} - 6 a^{2} + a^{2} + 1 \cdot - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{3 a^{4} - 6 a^{2} + a^{2} - 2}{a^{2}}$

Schritt 11.2

Addiere $- 6 a^{2}$ und $a^{2}$ .

$- \frac{3 a^{4} - 5 a^{2} - 2}{a^{2}}$

Schritt 12

Zerlege den Bruch $\frac{3 a^{4} - 5 a^{2} - 2}{a^{2}}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{3 a^{4} - 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 13

Zerlege den Bruch $\frac{3 a^{4} - 5 a^{2}}{a^{2}}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{3 a^{4}}{a^{2}} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{4}$ und $a^{2}$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $3 a^{4}$ heraus.

$- (\frac{a^{2} (3 a^{2})}{a^{2}} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- (\frac{a^{2} (3 a^{2})}{a^{2} \cdot 1} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{a^{2} (3 a^{2})}{a^{2} \cdot 1} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{3 a^{2}}{1} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 14.2.4

Dividiere $3 a^{2}$ durch $1$ .

$- (3 a^{2} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2}$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (3 a^{2} + \frac{- 5 a^{2}}{a^{2}} + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 15.2

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$- (3 a^{2} - 5 + \frac{- 2}{a^{2}})$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (3 a^{2} - 5 - \frac{2}{a^{2}})$