Algebravorstufe Beispiele

$(16 x^{3} - 9 x - 16 x^{2} + 9) \div (x - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{16 x^{3} - 9 x - 16 x^{2} + 9}{x - 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{2} - 9 x + 9}{x - 1}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(16 x^{3} - 16 x^{2}) - 9 x + 9}{x - 1}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{16 x^{2} (x - 1) - 9 (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (16 x^{2} - 9)}{x - 1}$

Schritt 2.4

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) ({(4 x)}^{2} - 9)}{x - 1}$

Schritt 2.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) ({(4 x)}^{2} - 3^{2})}{x - 1}$

Schritt 2.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 3) (4 x - 3)}{x - 1}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (4 x + 3) (4 x - 3)}{x - 1}$

Schritt 3.2

Dividiere $(4 x + 3) (4 x - 3)$ durch $1$ .

$(4 x + 3) (4 x - 3)$

Schritt 4

Multipliziere $(4 x + 3) (4 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 + 3 (4 x - 3)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 3$

Schritt 5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 x \cdot - 3$ und $3 (4 x)$ neu an.

$4 x (4 x) - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2

Addiere $- 3 \cdot 4 x$ und $3 \cdot 4 x$ .

$4 x (4 x) + 0 + 3 \cdot - 3$

Schritt 5.3

Addiere $4 x (4 x)$ und $0$ .

$4 x (4 x) + 3 \cdot - 3$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 4 x \cdot x + 3 \cdot - 3$

Schritt 6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot 4 (x \cdot x) + 3 \cdot - 3$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$16 x^{2} - 9$