Algebravorstufe Beispiele

$(2 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{3} - x - 6) \div (x^{2} - 2)$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{5} + 0 - 4 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

Schritt 6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{4} + 0 - 8 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Schritt 11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$6$

$8 x^{2}$

$0$

$16$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{2} + 0 - 16$

						$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$2 x^{5}$	+	$4 x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
					-	$2 x^{5}$	-	$0$	+	$4 x^{3}$
							+	$4 x^{4}$	+	$0$	+	$0 x^{2}$	-	$x$
							-	$4 x^{4}$	-	$0$	+	$8 x^{2}$
											+	$8 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
											-	$8 x^{2}$	-	$0$	+	$16$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$2 x^{5}$	+	$4 x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
					-	$2 x^{5}$	-	$0$	+	$4 x^{3}$
							+	$4 x^{4}$	+	$0$	+	$0 x^{2}$	-	$x$
							-	$4 x^{4}$	-	$0$	+	$8 x^{2}$
											+	$8 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
											-	$8 x^{2}$	-	$0$	+	$16$
													-	$x$	+	$10$

Schritt 16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 + \frac{- x + 10}{x^{2} - 2}$