Algebravorstufe Beispiele

$x^{3} = - 343$

Schritt 1

Addiere $343$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 343 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $343$ als $7^{3}$ um.

$x^{3} + 7^{3} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$(x + 7) (x^{2} - x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 7^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5

Setze $x^{2} - 7 x + 49$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x^{2} - 7 x + 49$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - 7 x + 49 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 7$ und $c = 49$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $196$ von $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 147$ als $- 1 (147)$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (147)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$ wahr machen.

$x = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$