Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{4} x + \frac{3}{4} y = 1$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{4} = 1 - \frac{x}{4}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y}{4} = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y}{4}$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y}{4} = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (1 - \frac{x}{4})$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} (- \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} (- \frac{x}{4})$

Schritt 1.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$y = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{- x}{4}$

Schritt 1.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{- x}{4}$

Schritt 1.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} (- x)$

Schritt 1.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{4}{3} - \frac{x}{3}$

Schritt 1.4

Stelle $\frac{4}{3}$ und $- \frac{x}{3}$ um.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 2

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.2

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{4}{3}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 3

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $- \frac{1}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{4}{3})$

Steigung: $- \frac{1}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{4}{3})$

Schritt 4

Jede Gerade kann mittels zweier Punkte gezeichnet werden. Wähle zwei $x$ -Werte und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu finden.

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Schritt 4.1

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 4.1.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{4}{3}$

Schritt 4.1.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 4.2

Finde den Schnittpunkt mit der x-Achse.

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Schritt 4.2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} = 0$ um.

$- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} + \frac{4}{3} = 0$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $\frac{4}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{3} = - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.2.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- x = - 4$

Schritt 4.2.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.5.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 4.2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4, 0)$

Schritt 4.3

Finde den Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Schritt 4.3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{4}{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{3}) + \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = 0 + \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{4}{3})$

Schritt 4.4

Erstelle eine Tabelle mit den $x$ - und $y$ -Werten.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 4 & 0 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Gerade mittels der Steigung und der y-Achsenabschnitte oder der Punkte.

Steigung: $- \frac{1}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{4}{3})$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 4 & 0 \end{array}$

Schritt 6