Algebravorstufe Beispiele

$| x + 1 | + | 3 x - 1 | > 2$

Schritt 1

Ersetze $>$ durch $=$ in $| x + 1 | + | 3 x - 1 | > 2$ .

$| x + 1 | + | 3 x - 1 | = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $| x + 1 |$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| 3 x - 1 | = 2 - | x + 1 |$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 x - 1 = \pm (2 - | x + 1 |)$

Schritt 4

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$3 x - 1 = 2 - | x + 1 |$

$3 x - 1 = - (2 - | x + 1 |)$

Schritt 5

Löse $3 x - 1 = 2 - | x + 1 |$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Löse nach $| x + 1 |$ auf.

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Schritt 5.1.1

Schreibe die Gleichung als $2 - | x + 1 | = 3 x - 1$ um.

$2 - | x + 1 | = 3 x - 1$

Schritt 5.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $| x + 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | x + 1 | = 3 x - 1 - 2$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- | x + 1 | = 3 x - 3$

Schritt 5.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- | x + 1 | = 3 x - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x + 1 | = 3 x - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x + 1 |}{- 1} = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x + 1 |}{1} = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.2.2

Dividiere $| x + 1 |$ durch $1$ .

$| x + 1 | = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 x}{- 1}$ .

$| x + 1 | = - 1 \cdot (3 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (3 x)$ als $- (3 x)$ um.

$| x + 1 | = - (3 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$| x + 1 | = - 3 x + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.4

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$| x + 1 | = - 3 x + 3$

Schritt 5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (- 3 x + 3)$

Schritt 5.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x + 1 = - 3 x + 3$

$x + 1 = - (- 3 x + 3)$

Schritt 5.4

Löse $x + 1 = - 3 x + 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + 3 x = 3$

Schritt 5.4.1.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$4 x + 1 = 3$

Schritt 5.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3 - 1$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$4 x = 2$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 5.4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5.5

Löse $x + 1 = - (- 3 x + 3)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $- (- 3 x + 3)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 - (- 3 x + 3)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x + 1 = - (- 3 x + 3)$

Schritt 5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = - (- 3 x) - 1 \cdot 3$

Schritt 5.5.1.4

Multipliziere.

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Schritt 5.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 3 x - 1 \cdot 3$

Schritt 5.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x + 1 = 3 x - 3$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 3 x = - 3$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$- 2 x + 1 = - 3$

Schritt 5.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3 - 1$

Schritt 5.5.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$- 2 x = - 4$

Schritt 5.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 4$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 4$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 2$ .

$x = 2$

Schritt 5.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Schritt 6

Löse $3 x - 1 = - (2 - | x + 1 |)$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Löse nach $| x + 1 |$ auf.

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Schritt 6.1.1

Schreibe die Gleichung als $- (2 - | x + 1 |) = 3 x - 1$ um.

$- (2 - | x + 1 |) = 3 x - 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $- (2 - | x + 1 |)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - - | x + 1 | = 3 x - 1$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - - | x + 1 | = 3 x - 1$

Schritt 6.1.2.3

Multipliziere $- - | x + 1 |$ .

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Schritt 6.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 + 1 | x + 1 | = 3 x - 1$

Schritt 6.1.2.3.2

Mutltipliziere $| x + 1 |$ mit $1$ .

$- 2 + | x + 1 | = 3 x - 1$

Schritt 6.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $| x + 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 1 | = 3 x - 1 + 2$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$| x + 1 | = 3 x + 1$

Schritt 6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (3 x + 1)$

Schritt 6.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x + 1 = 3 x + 1$

$x + 1 = - (3 x + 1)$

Schritt 6.4

Löse $x + 1 = 3 x + 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 3 x = 1$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$- 2 x + 1 = 1$

Schritt 6.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = 1 - 1$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 2 x = 0$

Schritt 6.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Löse $x + 1 = - (3 x + 1)$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache $- (3 x + 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 - (3 x + 1)$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x + 1 = - (3 x + 1)$

Schritt 6.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = - (3 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x + 1 = - 3 x - 1 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x + 1 = - 3 x - 1$

Schritt 6.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + 3 x = - 1$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$4 x + 1 = - 1$

Schritt 6.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1 - 1$

Schritt 6.5.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$4 x = - 2$

Schritt 6.5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 2$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 6.5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.5.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{2}, 2, 0, - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 3) + 1 | + | 3 (- 3) - 1 | > 2$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.25$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 0.25) + 1 | + | 3 (- 0.25) - 1 | > 2$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $2.5$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (0.25) + 1 | + | 3 (0.25) - 1 | > 2$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (1) + 1 | + | 3 (1) - 1 | > 2$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (4) + 1 | + | 3 (4) - 1 | > 2$

Schritt 9.5.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1}{2}$ oder $- \frac{1}{2} < x < 0$ oder $\frac{1}{2} < x < 2$ oder $x > 2$

Schritt 11