Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ nicht definiert ist.

$x = - 3, x = 5$

Schritt 2

Da $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von links und $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von rechts, dann ist $x = - 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 3$

Schritt 3

Da $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $5$ von links und $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $5$ von rechts, dann ist $x = 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = 5$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 3, 5$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{3} + 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Schritt 8.1.1.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Schritt 8.1.1.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 8.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2

Multipliziere $3 x^{2} (x + 4)$ aus.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2.2

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 8.3

Multipliziere $(x - 5) (x + 3)$ aus.

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Schritt 8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Schritt 8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Schritt 8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.4

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Schritt 8.3.10

Subtrahiere $5 x$ von $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Schritt 8.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 8.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 8.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Schritt 8.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Schritt 8.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Schritt 8.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Schritt 8.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $18 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Schritt 8.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Schritt 8.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $18 x^{2} - 36 x - 270$

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Schritt 8.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Schritt 8.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Schritt 8.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 3 x + 18$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3, 5$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 3 x + 18$

Schritt 10