Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2}{x - 4} < 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2}{x - 4} - 1 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2}{x - 4} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{x - 4} - 1 \cdot \frac{x - 4}{x - 4} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{x - 4} + \frac{- (x - 4)}{x - 4} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - (x - 4)}{x - 4} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - x - - 4}{x - 4} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 - x + 4}{x - 4} < 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{- x + 6}{x - 4} < 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 6}{x - 4} < 0$

Schritt 2.6

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{x - 4} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{- (x - 6)}{x - 4} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{- 1 (x - 6)}{x - 4} < 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 6}{x - 4} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6$

$x = 4$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, 4$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 6}{x - 4}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 6}{x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(0) - 4} < 1$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(5) - 4} < 1$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(8) - 4} < 1$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 4$ oder $x > 6$

Schritt 12