Algebravorstufe Beispiele

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{45} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{45}{4}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{9}{2}$

$b = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}}$

Schritt 5.3.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}}$

Schritt 5.3.6.4

Subtrahiere $45$ von $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}}$

Schritt 5.3.6.5

Dividiere $36$ durch $4$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 5.3.6.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 3, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(3, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (3), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- 3, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.5.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7.4

Subtrahiere $45$ von $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7.5

Dividiere $36$ durch $4$ .

$\sqrt{9} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 (\frac{2}{9})$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \frac{2}{3 (3)}$

Schritt 8.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 8.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Exzentrizität: $\frac{2}{3}$

Schritt 10