Algebravorstufe Beispiele

$\frac{8}{\sqrt{56 - 7 x}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{8}{\sqrt{56 - 7 x}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{7 (8 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 (8 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (8 - x) \geq 0$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (8 - x) \geq 0$ durch $7$ .

$\frac{7 (8 - x)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (8 - x)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Dividiere $8 - x$ durch $1$ .

$8 - x \geq \frac{0}{7}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

$8 - x \geq 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 8$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x \leq 8$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{8 \sqrt{7 (8 - x)}}{7 (8 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 (8 - x) = 0$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (8 - x) = 0$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (8 - x) = 0$ durch $7$ .

$\frac{7 (8 - x)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (8 - x)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Dividiere $8 - x$ durch $1$ .

$8 - x = \frac{0}{7}$

Schritt 1.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

$8 - x = 0$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 1.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 1.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 8)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 8}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 8)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 8}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $8$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - x)}}{7 (8 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (8))}}{7 (8 - (8))}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (8) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (8))}}{7 (8 - 8)}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (8) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (8))}}{7 \cdot 0}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f (8) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (8))}}{0}$

Schritt 2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (8) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(8, Undefined)$ .

$(8, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - x)}}{7 (8 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, \frac{4 \sqrt{14}}{7})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (6))}}{7 (8 - (6))}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $8 - (6)$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f (6) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (6))}}{7 (- 1 \cdot - 8 - (6))}$

Schritt 4.1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 8) - (6)$ heraus.

$f (6) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (6))}}{7 (- 1 (- 8 + 6))}$

Schritt 4.1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{7 (8 - (6))}$ heraus.

$f (6) = \frac{2 (4 \sqrt{7 (8 - (6))})}{7 (- 1 (- 8 + 6))}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $7 (- 1 (- 8 + 6))$ heraus.

$f (6) = \frac{2 (4 \sqrt{7 (8 - (6))})}{2 (7 (- 1 (- 4 + 3)))}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6) = \frac{2 (4 \sqrt{7 (8 - (6))})}{2 (7 (- 1 (- 4 + 3)))}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (6) = \frac{4 \sqrt{7 (8 - (6))}}{7 (- 1 (- 4 + 3))}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{7 (8 - 6)}}{7 (- 1 (- 4 + 3))}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{7 \cdot 2}}{7 (- 1 (- 4 + 3))}$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{14}}{7 (- 1 (- 4 + 3))}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{14}}{- 7 (- 4 + 3)}$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{14}}{- 7 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f (6) = \frac{4 \sqrt{14}}{7}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{14}}{7}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $7$ in $f (x) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - x)}}{7 (8 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(7, \frac{8 \sqrt{7}}{7})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - (7))}}{7 (8 - (7))}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7 (8 - 7)}}{7 (8 - (7))}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7 \cdot 1}}{7 (8 - (7))}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7}}{7 (8 - (7))}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7}}{7 (8 - 7)}$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7}}{7 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (7) = \frac{8 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ .

$y = \frac{8 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(8, Undefined), (6, 2.14), (7, 3.02)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 2.14 \\ 7 & 3.02 \\ 8 & Undefined \end{array}$

Schritt 5